Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow$=（cosx，-1）．
（1）當(dāng)$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$時(shí)，求cos²x-sin2x的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$，已知f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{3}{4}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量關(guān)系的坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的公式求出函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解．

解答 解：（1）因?yàn)?B>a∥b，所以$\frac{3}{4}$cosx+sinx=0，
所以tanx=-$\frac{3}{4}$．
故cos²x-sin2x=$\frac{cos^2x-2sinxcosx}{sin^2x+cos^2x}$=$\frac{1-2tanx}{1+tan^2x}$=$\frac{1-2×（-\frac{3}{4}）}{1+（-\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{8}{5}$．
（2）f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=2sinxcosx-$\frac{3}{2}$+2（cos²x+1）=sin2x+cos2x+$\frac{3}{2}$=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$，
因?yàn)閒（$\frac{α}{2}$）=$\frac{3}{4}$，所以f（$\frac{α}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$，即sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
因?yàn)棣痢剩?\frac{π}{2}$，π），所以$\frac{3π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{5π}{4}$， 故cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{2}}{8}）^{2}}$=-$\frac{\sqrt{46}}{8}$， 所以sinα=sin[α+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[sin（α+$\frac{π}{4}$）-cos（α+$\frac{π}{4}$）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}×（-\frac{3\sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{46}}{8}）$=$\frac{-3+\sqrt{23}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用以及向量共線的坐標(biāo)公式，以及向量和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)向量數(shù)量積的關(guān)系求出函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．