Question

定義區(qū)間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長(zhǎng)度均為n-m，其中n＞m．
（1）若關(guān)于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長(zhǎng)度為，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求關(guān)于x的不等式，x∈[0，2π]的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長(zhǎng)度和；
（3）已知關(guān)于x的不等式組的解集構(gòu)成的各區(qū)間長(zhǎng)度和為6，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）觀察二次項(xiàng)的系數(shù)帶有字母，需要先對(duì)字母進(jìn)行討論，當(dāng)a等于0時(shí)，看出合不合題意，a≠0時(shí)，方程2ax²-12x-3=0的兩根設(shè)為x₁、x₂，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，寫(xiě)出兩根的和與積，表示出區(qū)間長(zhǎng)度，得到結(jié)果．
（2）根據(jù)所給的三角函數(shù)式，利用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，根據(jù)三角函數(shù)的圖象寫(xiě)出不等式成立的條件，寫(xiě)出在規(guī)定范圍中的解集．
（3）先解關(guān)于x的不等式組，解出兩個(gè)不等式的解集，求兩個(gè)不等式的解集的交集，A∩B⊆（0，6），不等式組的解集的各區(qū)間長(zhǎng)度和為6，寫(xiě)出不等式組進(jìn)行討論，得到結(jié)果．
解答：解：（1）a=0時(shí)不合題意；                                      （1分）
a≠0時(shí)，方程2ax²-12x-3=0的兩根設(shè)為x₁、x₂，則，，
由題意知，（2分）
解得a=-2或a=3（舍），（3分）
所以a=-2．                                                    （4分）
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183325082905715/SYS201310241833250829057019_DA/3.png">==，
原不等式即為，x∈[0，2π]（6分）
不等式的解集為，（7分）
所以原不等式的解集為（8分）
各區(qū)間的長(zhǎng)度和為（9分）
（3）先解不等式，整理得，即x（x-6）＜0
所以不等式的解集A=（0，6）（10分）
設(shè)不等式log₂x+log₂（tx+3t）＜2的解集為B，不等式組的解集為A∩B
不等式log₂x+log₂（tx+3t）＞2等價(jià)于（11分）
又A∩B⊆（0，6），不等式組的解集的各區(qū)間長(zhǎng)度和為6，所以不等式組，
當(dāng)x∈（0，6）時(shí)，恒成立                                                 （12分）
當(dāng)x∈（0，6）時(shí)，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0（13分）
當(dāng)x∈（0，6）時(shí)，不等式tx²+3tx-4＜0恒成立，即恒成立        （14分）
當(dāng)x∈（0，6）時(shí)，的取值范圍為，所以實(shí)數(shù)（15分）
綜上所述，t的取值范圍為（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查一個(gè)新定義問(wèn)題，即區(qū)間的長(zhǎng)度，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于條件中所給的三種不同的題目進(jìn)行整理變化，注意恒成立問(wèn)題，這是高考題目中必出的．