Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=

1

2

CD=1．現(xiàn)以AD為一邊向形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點，如圖2．
（1）求證：AM∥平面BEC；
（2）求證：BC⊥平面BDE；

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取EC中點N，連接MN，BN，證明BN∥AM．說明BN?平面BEC，且AM?平面BEC，即可證明AM∥平面BEC；
（2）先證明ED⊥BC，BC⊥BD，ED∩BD=D，即可證明BC⊥平面BDE．

解答： 證明：（1）取EC中點N，M是EC的中點，連接MN，BN．
在△EDC中，M，N分別為ED，EC的中點，
所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，
所以MN∥AB，且MN=AB．        
所以四邊形ABNM為平行四邊形．
所以BN∥AM．                              
又因為BN?平面BEC，且AM?平面BEC，
所以AM∥平面BEC．         
（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，得BC=

2

．
在△BCD中，BD=BC=

2

，
所以BD²+BC²=CD²．
所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面BDE．

點評：本題是中檔題，考查直線與平面的平行與垂直的證明方法，幾何體的體積的解法，考查空間想象能力、計算能力，注意轉(zhuǎn)化思想的應用，判定定理的正確應用．