Question

如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理、圓的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：①∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC，
∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥BC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
∵AE?平面PAC．
∴BC⊥AE．
因此①正確．
④由①可知：AE⊥BC，
又∵AE⊥PC，PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC．
因此④正確．
②由④可知：AE⊥平面PBC，∴AE⊥PB．
又∵AF⊥PB，AE∩AF=A，
∴PB⊥平面AEF，
∴PB⊥EF．
因此②正確．
③AF⊥BC不正確；
用反證法證明：假設(shè)AF⊥BC，
又AF⊥PB，PB∩BC=B．
∴AF⊥平面PBC．
這與AE⊥平面PBC相矛盾．因此假設(shè)不成立．
故③不正確．
綜上可知：只有①②④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評：本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、圓的性質(zhì)，屬于中檔題．