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已知函數f(x)=alnx-
1
2
x2+
1
2
（a＞0）．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）求f（x）在[1，+∞）上的最大值．
分析：（1）求導函數，結合函數的定義域，利用導數的正負，可得f（x）的單調區(qū)間；
（2）分類討論，求得f（x）在[1，+∞）上的單調性，即可求f（x）在[1，+∞）上的最大值．
解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=
-x2+a
x
．…（2分）
令f′（x）=0得x=
a
或x=-
a
（舍）．
函數f（x），f′（x）隨x的變化如下：
x （0，
a
）
a
 （
a
，+∞）
f′（x） + 0 -
f（x） ↗ 極大值 ↘
所以f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，
a
），單調遞減區(qū)間是（
a
，+∞）．…（6分）
（2）由（1）可知：
①當
a
≤1，即0＜a≤1時，f（x）在[1，+∞）上單調遞減．
∴fmax（x）=f（1）=0…（9分）
②當
a
＞1，即a＞1時，f（x）在[1，
a
）上單調遞增，（
a
，+∞）上單調遞減．
∴fmax(x)=f(
a
)=
alna-a-1
2
…（13分）
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數f（x）總是為增函數；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數；
（3）當f（x）為奇函數時，求f（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數f（x）的大致圖象；
（2）求函數f（t）-9的零點；
（3）設q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數q（t）的單調遞增區(qū)間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數a的值；
（III）設g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數的底數）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調性的情況，并證明你的結論．

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