Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；
（2）在（1）的條件下，求異面直線AE與CD所成角的余弦值；
（3）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）欲證直線與直線垂直，可用先證直線與平面垂直，即證明PD⊥平面BAE；
（2）過點(diǎn)E作EM∥CD交PC于M，連接AM，則AE與ME所成角即為AE與CD所成角；
（3）延長AB與DC相交于G點(diǎn)，連PG，則面PAB與面PCD的交線為PG，易知CB⊥平面PAB，過B作BF⊥PG于F點(diǎn)，連CF，則CF⊥PG，可得∠CFB為二面角C-PG-A的平面角．

解答： （1）證明：∵∠BAD=90°，∴BA⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，
∴BA⊥PA．
又∵PA∩AD=A，
∴BA⊥平面PAD．
∵PD?平面PAD．
∴PD⊥BA．
又∵PD⊥AE，且BA∩AE=A，
∴PD⊥平面BAE，
∴PD⊥BE，即BE⊥PD；
（2）解：過點(diǎn)E作EM∥CD交PC于M，連接AM，則AE與ME所成角即為AE與CD所成角．

∵PA⊥底面ABCD，且PD與底面ABCD成30°角．
∴∠PDA=30°．
∴在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠PDA=30°，AD=2a
∴PA=

2 3

3

a，PD=

4 3

3

a．
∴AE=

PA•AD

PD

=

2 3 3 a•2a

4 3 3 a

=a．
∵PE=

PA2

PD

=

3

3

a，CD=

2

a．
∴ME=

CD•PE

PD

=

2

4

a．
連接AC
∵在△ACD中AD=2a，AC=

2

a，CD=

2

a，
∴AD²=AC²+CD²
∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∴ME⊥AC
又∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，∴ME⊥PA．
∴ME⊥平面PAC．
∵M(jìn)A?平面PAC，
∴ME⊥AM．
∴在Rt△AME中，cos∠MEA=

ME

AE

=

2

4

．
∴異面直線AE與CD所成角的余弦值為

2

4

；
（3）解：延長AB與DC相交于G點(diǎn)，連PG，則面PAB與面PCD的交線為PG，CB⊥平面PAB，過B作BF⊥PG于F點(diǎn)，連CF，則CF⊥PG，

∴∠CFB為二面角C-PG-A的平面角，
∵CB∥

1

2

AD，
∴GB=AB=a，∠PDA=30°，PA=

2 3

3

a，AG=2a．
∴∠PGA=30°，
∴BF=

1

2

GB=

a

2

，
∴FC=

a2 4 +a2

=

5

2

a，
∴cos∠BFC=

a 2

5 2 a

=

5

5

．
∴平面PAB與平面PCD所成的二面角的余弦值為

5

5

．

點(diǎn)評：求異面直線所成的角，可以做適當(dāng)?shù)钠揭�，把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在相關(guān)的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移時主要是根據(jù)中位線和中點(diǎn)條件，或者是特殊的四邊形，三角形等；二面角的度量關(guān)鍵在于找出它的平面角，構(gòu)造平面角常用的方法就是三垂線法．