Question

17．已知當x∈（-$\frac{π}{6}$，π）時，不等式cos2x-2asinx+6a-1＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是a＞$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先利用二倍角公式把題設不等式轉化為關于sinx的一元二次不等式，求得sinx的范圍，利用x的范圍可求得sinx的范圍，進而根據(jù)不等式恒成立推斷出

解答 解：cos2x-2asinx+6a-1＞0，
∴1-2sin²x-2asinx+6a-1＞0，
∴sin²x+asinx-3a＜0，
設x∈（-$\frac{π}{6}$，π）時，sinx∈（-$\frac{1}{2}$，1），∴t∈（-$\frac{1}{2}$，1），
t²+at-3a＜0，
由二次函數(shù)性質，對稱軸x=-a，
當-a＜-$\frac{1}{2}$，即a＞$\frac{1}{2}$，最大值為t=1，即1+a-3a＜0，
∴a＞$\frac{1}{2}$，
當-$\frac{1}{2}$＜-a＜1，及-1＜a＜$\frac{1}{2}$，
無解，
當-a＞1，a＜-1時，
無解；
∴綜上可知：a＞$\frac{1}{2}$．
故答案為：a＞$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的最值．考查了三角函數(shù)與不等式的綜合．