Question

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=a^x-x．
（1）求函數(shù)y=f（x）的極值點；
（2）對x∈R使f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,分類討論,導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出導數(shù)，討論0＜a＜1，a＞1，求得單調性，進而確定極值；
（2）分析0＜a＜1時，a^x≥x在R上不可能恒成立，則a＞1，由（1）可得，f（x）在x=x₀處取得極小值，且為最小值，對x∈R使f（x）≥0恒成立，則f（x₀）≥0，解不等式即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=a^x-x的導數(shù)為f′（x）=a^xlna-1=lna（a^x-

1

lna

），
當0＜a＜1時，f′（x）＜0，f（x）在R上遞減，無極值點；
當a＞1時，由a^x=

1

lna

，得x=-

ln(lna)

lna

，f′（x）＞0，可得，x＞-

ln(lna)

lna

，
f′（x）＜0，可得，x＜-

ln(lna)

lna

，
則x₀=-

ln(lna)

lna

為f（x）的極小值點，無極大值點；
（2）當0＜a＜1時，由y=a^x和y=x的圖象可得a^x≥x在R上不可能恒成立．
則a＞1．
由（1）得x₀=-

ln(lna)

lna

，當x＜x₀，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當x＞x₀，f′（x）＞0，f（x）遞增，則有f（x）在x=x₀處取得極小值，且為最小值．
對x∈R使f（x）≥0恒成立，則f（x₀）≥0，則

1

lna

≥-

ln(lna)

lna

，
即有l(wèi)n（lna）≥-1，即lna≥

1

e

，解得，a≥e

1

e

．
則當a≥e

1

e

時，f（x）≥0對x∈R恒成立．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間和求極值、最值，考查不等式的恒成立問題轉化為求函數(shù)最值，考查運算能力，屬于中檔題．