Question

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，B={x|

x-2a

x-(a2+1)

＜0}，其中a≠1
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求A∩B；
（2）求使B⊆A的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，解一元二次不等式求的A，解分式不等式求的B，再利用兩個(gè)集合的交集的定義求出A∩B．
（2）當(dāng)3a＞2、當(dāng)3a＜2時(shí)、當(dāng)3a=2時(shí)三種情況，分別根據(jù)B⊆A求出a的范圍，再取并集，即得所求．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，集合A={x|（x-2）（x-7）＜0}={x|2＜x＜7}，
B={x|

x-4

x-5

＜0}={x|4＜x＜5}，
∴A∩B={x|2＜x＜7}∩{x|4＜x＜5}={x|4＜x＜5}．
（2）由于a≠1，當(dāng)3a+1＞2時(shí)，集合A=（2，3a+1），B=（2a，a²+1），
再由B⊆A可得 

3a＞2 2a≥2 3a+1 ≥  a2+1 a≠1

，解得 1＜a≤3．
當(dāng)3a+1＜2時(shí)，集合A=（3a+1，2），B=（2a，a²+1），
由B⊆A可得

3a+1 ＜2 2a≥3a+1 2 ≥  a2+1 a≠1

，解得 a=-1．
當(dāng)3a=2時(shí)，A=∅，不滿足條件．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍 {a|1＜a≤3，或a=-1}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次不等式、分式不等式的解法，集合中參數(shù)的取值問(wèn)題，屬于中檔題．