Question

5．某工廠新研發(fā)的一種產(chǎn)品的成本價是4元/件，為了對該產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下6組數(shù)據(jù)：

單價x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
銷量y（件）	90	84	83	80	75	68

（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就說產(chǎn)品“定價合理”，現(xiàn)從這6組數(shù)據(jù)中任意抽取2組數(shù)據(jù)，2組數(shù)據(jù)中“定價合理”的個數(shù)記為X，求X的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并用回歸方程預(yù)測在今后的銷售中，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？（利潤L=銷售收入-成本）
附：線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中系數(shù)計算公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（\;{x_i}-\overline x\;）（\;{y_i}-\overline y\;）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（\;{x_i}-\overline x\;）}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\;\overline x$，其中$\overline x$、$\overline y$表示樣本均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，得出X的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX；
（Ⅱ）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出$\stackrel{∧}$、$\stackrel{∧}{a}$，寫出y關(guān)于x的線性回歸方程，得出利潤函數(shù)L（x）的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出L（x）的最大值與對應(yīng)x的值．

解答 解：（Ⅰ）X的可能取值為0，1，2；滿足90≤x+y＜100的有3組，
所以P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$；
X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

數(shù)學(xué)期望為EX=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1；…（6分）
（Ⅱ）因為$\overline{x}$=8.5，$\overline{y}$=80，$\sum_{i=1}^{6}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=0.7，$\sum_{i=1}^{6}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=-14；
所以$\stackrel{∧}$=$\frac{-14}{0.7}$=-20，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=250；
y關(guān)于x的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=-20x+250，
利潤函數(shù)L（x）=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-20x²+330x-1000；
當(dāng)x=-$\frac{330}{2×（-20）}$=8.25時，L（x）取得最大值361.25；
故當(dāng)單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的計算問題，也考查了線性回歸方程的求法以及二次函數(shù)的最值問題，是綜合性題目．