Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n=2ⁿ⁺¹-n-2（n∈N^*），
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若bn=

n

an+1-an

，數(shù)列{b_n}的前項和為T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)n=1時，a1=S1，n≥2時，an=Sn-Sn-1，以及S_n=2ⁿ⁺¹-n-2（n∈N^*），可求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）所得數(shù)列{a_n}的通項公式，代入bn=

n

an+1-an

，得到數(shù)列{b_n}的通項公式，觀察得出，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列，可以用錯位相減求和．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2ⁿ⁺¹-n-2
當n≥2時S_n-1=2ⁿ-（n-1）-2（n∈N^*）
∴a_n=2ⁿ-1（n≥2）
又a₁=S₁=1
∴a_n=2ⁿ-1（n∈N*）
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ-1∴bn=

n

(2n+1-1)-(2n-1)

=

n

2n+1-2n

=

n

2n

∴Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

1

2

Tn=，

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

∴Tn=2(

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

)=2-

1

2n-1

-

n

2n

點評：本題考查了數(shù)列的前n項和與通項a_n的關系，以及錯位相減求數(shù)列和．