Question

18．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若$\overrightarrow{AC}?\overrightarrow{AB}=4$，且$\frac{{a}^{2}-{（b+c）}^{2}}{bc}=1$，則△ABC的面積等于（　�。�

• A． $5\sqrt{3}$
• B． $4\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $4\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求cosA，進而可求A的值，利用平面向量數(shù)量積的運算可求bc的值，即可利用三角形面積公式計算求值得解．

解答 解：由$\frac{{a}^{2}-{（b+c）}^{2}}{bc}=1$，得：$cosA=\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=-\frac{1}{2}$，
得：$A=\frac{2π}{3}$，
又$\overrightarrow{AC}?\overrightarrow{AB}=4$，得：$\left|\overrightarrow{AC}\right|\left|\overrightarrow{AB}\right|cosA=-4$，得：$\left|\overrightarrow{AC}\right|\left|\overrightarrow{AB}\right|cosA=-4$，
可得：bc=8，
則${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×8×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理、平面向量的數(shù)量積、三角形面積的求法，意在考查考生的運算求解能力，屬于中檔題．