Question

已知拋物線的焦點為，點是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，．

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)點是拋物線上的兩點，的角平分線與軸垂直，求的面積最大時直線的方程．

 

Answer 1

（1）拋物線的方程為．（2）．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線的定義得，根據(jù)解得，得到拋物線的方程為．

（2）首先，由（1）知點的坐標為，因為的角平分線與軸垂直，所以可知的傾斜角互補，即的斜率互為相反數(shù)；

設(shè)直線的斜率為，則，由題意，把代入拋物線方程得，該方程的解為4、，

由韋達定理得，即，同理，

推出；

設(shè)，把代入拋物線方程得，

由題意，且，得，

由“弦長公式”，點到的距離，

得到，設(shè)， 12分

整理后構(gòu)造函數(shù)，，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其最值， 的面積取最大值時，得出直線的方程為．

試題解析：（1）設(shè)，因為，由拋物線的定義得，又，3分

因此，解得，從而拋物線的方程為． 6分

（2）由（1）知點的坐標為，因為的角平分線與軸垂直，所以可知的傾斜角互補，即的斜率互為相反數(shù)

設(shè)直線的斜率為，則，由題意， 7分

把代入拋物線方程得，該方程的解為4、，

由韋達定理得，即，同理，

所以， 9分

設(shè)，把代入拋物線方程得，

由題意，且，從而

又，所以，點到的距離，

因此，設(shè)， 12分

則，

由知，所以在上為增函數(shù)，因此，

即面積的最大值為．

的面積取最大值時，所以直線的方程為． 14分

考點：1.拋物線的定義及其幾何性質(zhì)；2.直線與拋物線的位置關(guān)系；3.直線方程；4.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.