Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a_n=$\frac{{4{a_{n-1}}-4}}{{{a_{n-1}}}}$，記b_n=$\frac{1}{{{a_n}-2}}$．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}前n項和S_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）將原式化簡為a_n-2═2×$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}}$，即$\frac{1}{{a}_{n}-2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}-2}$，根據(jù)b_n=$\frac{1}{{{a_n}-2}}$．得到b_n-b_n-1=$\frac{1}{2}$，即可證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求得{b_n}的通項公式和前n項和，利用二次函數(shù)性質，即可求得數(shù)列{b_n}前n項和S_n的最小值．

解答 解：（1）證明：a_n=$\frac{{4{a_{n-1}}-4}}{{{a_{n-1}}}}$，即a_n=4-$\frac{4}{{a}_{n-1}}$，
∴a_n-2=2-$\frac{4}{{a}_{n-1}}$=2×$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}}$，
$\frac{1}{{a}_{n}-2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}-2}$
∴b_n=$\frac{1}{2}$+b_n-1，即b_n-b_n-1=$\frac{1}{2}$，
b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-2}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}是以$\frac{1}{2}$為公差，以$\frac{1}{2}$為首項的等差數(shù)列；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{n}{2}$，
數(shù)列{b_n}前n項和S_n：S_n=$\frac{（\frac{1}{2}+\frac{n}{2}）}{2}×n$=$\frac{1}{4}{n}^{2}$+$\frac{1}{4}n$，
由二次函數(shù)性質可知，當n=1時取最小值，最小值為$\frac{1}{2}$．
數(shù)列{b_n}前n項和S_n的最小值$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查根據(jù)遞推公式求數(shù)列的等差數(shù)列通項公式及前n項和公式，需要學生有較強的分析問題，觀察問題得能力，且技巧性較強，難度較大，屬于中檔題，