Question

16．已知θ為△ABC的最小內角，O為坐標原點，向量$\overrightarrow{OM}$=（1，sinθ），向量$\overrightarrow{ON}$=（cosθ，1），則△OMN的面積（　�。�

• A． 有最大值$\frac{1}{2}$
• B． 有最小值$\frac{1}{2}$
• C． 有最大值$\frac{1}{4}$
• D． 有最小值$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根據題意在平面直角坐標系中，畫出單位圓O，并設單位圓交x軸Q，交y軸P，然后分別過P，Q作x軸，y軸的平行線交于D點，可知點M在線段DQ上，點N在線段DP上，從而可表示出△OMN的面積為$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}sin2θ$，從而可判斷出△OMN有最小值，并可得出該最小值．

解答 解：如圖單位圓O與x軸交于P，與y軸交于Q，過M，N作y軸和x軸的平行線交于D，則：

S_△OMN=S_{正方形OPDQ}-S_△OPN-S_△OMQ-S_△DMN
=$1-\frac{1}{2}cosθ-\frac{1}{2}sinθ-\frac{1}{2}（1-cosθ）（1-sinθ）$
=$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}sinθcosθ$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}sin2θ$；
∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$；
∴2θ∈（0，π）；
∴$2θ=\frac{π}{2}$時，△OMN的面積取最小值$\frac{1}{4}$．
故選：D．

點評 考查利用單位圓解決問題的方法，數形結合解題的方法，二倍角的正弦公式，以及三角形的面積公式，正弦函數的最值．