設函數(shù)f(x)的定義域為R,若|f(x)|≤|x|對任意的實數(shù)x均成立,則稱函數(shù)f(x)為Ω函數(shù).

(Ⅰ)求證:若函數(shù)f(x)為Ω函數(shù),則f(0)=0;

(Ⅱ)試判斷函數(shù)f1(x)=xsinx、f2(x)=和f3(x)=中哪些是Ω函數(shù),并說明理由;

(Ⅲ)若f(x)是奇函數(shù)且是定義在R上的可導函數(shù),函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)滿足|f′(x)|<1,試判斷函數(shù)f(x)是否為Ω函數(shù),并說明理由.

答案:解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)的定義域為R,且|f(x)|≤|x|,

∴|f(0)|≤0,又|f(0)|≥0,∴f(0)=0. 

(Ⅱ)∵|x||sinx|≤|x|,

∴f1(x)=xsinx是Ω函數(shù);

∵f2(0)=>0

∴f2(x)=不是Ω函數(shù);

=|x|,

∴f3(x)=是Ω函數(shù).

(Ⅲ)∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),

∴f(0)=0

∵|f′(x)|<1,∴-1<f′(x)<1.

當x≥0時,

設函數(shù)F(x)=f(x)-x,和G(x)=f(x)+x.

∴F′(x)=f′(x)-1<0,G′(x)=f′(x)+1>0.

∴F(x)=f(x)-x在[0,+∞)上是減函數(shù),

G(x)=f(x)+x在[0,+∞)上是增函數(shù).

∴F(x)=f(x)-x≤F(0)=0,

G(x)=f(x)+x≥G(0)=0.

∴-x≤f(x)≤x.

∴當x≥0時,|f(x)|≤|x|成立.

當x<0時,-x>0,∴|f(-x)|<|-x|,

∵f(x)為奇函數(shù),∴|-f(x)|<|-x|,

即|f(x)|<|x|成立.

∴當x∈R時,|f(x)|≤|x|對任意的實數(shù)x均成立.故函數(shù)f(x)是Ω函數(shù).

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(09年東城區(qū)示范校質(zhì)檢一理)(14分)

設函數(shù)f(x)是定義在上的奇函數(shù),當時, (a為實數(shù)).

   (Ⅰ)求當時,f(x)的解析式;

   (Ⅱ)若上是增函數(shù),求a的取值范圍;

   (Ⅲ)是否存在a,使得當時,f(x)有最大值-6.

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設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若當x∈(0,+∞)時,f(x)=lgx,則滿足f(x)>0的x的取值范圍是___________.

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設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若當x∈(0,+∞)時,f(x)=lg x,則滿足f(x)>0

x的取值范圍是                  .

 

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