Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數(shù)），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．
（Ⅰ）當(dāng)時，若不等式對任意x∈R恒成立，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，關(guān)于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數(shù)根，
（i） 求f（x）的解析式；
（ii）求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，將不等式對任意x∈R恒成立，轉(zhuǎn)化為使x²+2bx+b＞0恒成立，利用判別式，即可確定b的取值范圍；
（Ⅱ）（i）利用函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，可得b=0，利用在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，即可確定函數(shù)的解析式；
（ii）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而分類討論：當(dāng)時，即使；當(dāng)時，即使或；當(dāng)時，即使或；當(dāng)時，即使或；當(dāng)時，即使或；當(dāng)時，即使或，由此可知實數(shù)t的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)時，
若使不等式對任意x∈R恒成立，只需使x²+2bx+b＞0對任意x∈R恒成立，
即使（2b）²-4b＜0成立，∴b的取值范圍為：（0，1）
（Ⅱ）（i）∵f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），∴f′（1）=3a+2b+（b-a）=2a+3b
又在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，∴2a+3b=2
又函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，∴b=0，∴a=1，
∴f（x）=x³-x
（ii）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=3x²-1
令f′（x）＞0，可得或x＞，令f′（x）＜0，可得
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-），（，+∞），減區(qū)間為．
當(dāng)時，若使關(guān)于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數(shù)根，即使，∴
當(dāng)時，若使關(guān)于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數(shù)根，即使或，此時無解
當(dāng)時，若使關(guān)于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數(shù)根，即使或，∴
當(dāng)時，若使關(guān)于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數(shù)根，即使或，∴
當(dāng)時，若使關(guān)于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數(shù)根，即使或，此時無解
當(dāng)時，若使關(guān)于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數(shù)根，即使或，∴
綜上，可知實數(shù)t的取值范圍為：
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，研究恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)，難度大．