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19.設(shè)函數(shù)f(x)=2cos2x+23sinxcosx+m.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若x∈[0,π2],是否存在實數(shù)m,使函數(shù)f(x)的值域恰為[12$$72]?若存在,請求出m的值,若不存在,請說明理由.

分析 (1)由二倍角公式及輔助角公式,將f(x)化簡為,f(x)=2sin(2x+π6)+m+1,從而可求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)由x∈[0,π2],2x+π6∈[π6,7π6],sin(2x+π6)∈[12,1],從而求得f(x)∈[m,m+3],由題意,列方程組,即可求得m的值.

解答 解:f(x)=2cos2x+23sinxcosx+m.
=cos2x+3sin2x+m+1,
=2sin(2x+π6)+m+1,
由周期公式T=2πω=π,
π2+2kπ≤2x+π63π2+2kπ,(k∈Z),
解得:π6+kπ≤x≤2π3+kπ,(k∈Z),
函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間[π6+kπ,2π3+kπ],(k∈Z);
(2)x∈[0,π2],則2x+π6∈[π6,7π6],
sin(2x+π6)∈[12,1],
故f(x)∈[m,m+3],
故存在m的滿足題意,即{m=12m+3=72,解得:m=12
故存在m=12,使得函數(shù)f(x)的值域恰為[12$$72].

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,以及三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,三角函數(shù)的周期性、單調(diào)區(qū)間和值域的求法,考查了整體思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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