已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點(
3
,-
3
2
)
,且橢圓的離心率e=
1
2
,過橢圓的右焦點F作兩條互相垂直的直線,分別交橢圓于點A、B及C、D.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求證:
1
|AB|
+
1
|CD|
為定值;
(Ⅲ)求|AB|+
9
16
|CD|的最小值.
(I)由e=
c
a
=
1
2
,得
c2
a2
=
1
4
,
∴a2=4c2=4(a2-b2),
∴3a2=4b2.(1),…(1分)
由橢圓過點(
3
,-
3
2
)
知,
3
a2
+
3
4b2
=1
.(2)…(2分)
聯(lián)立(1)、(2)式解得a2=4,b2=3.…(3分)
故橢圓的方程是
x2
4
+
y2
3
=1
.…(4分)
(II)
1
|AB|
+
1
|CD|
為定值
7
12
…(5分)
證明:橢圓的右焦點為F′(1,0),分兩種情況.
1°當直線AB的斜率不存在時,AB:x=1,
則CD:y=0.此時|AB|=3,|CD|=4,
1
|AB|
+
1
|CD|
=
7
12
;…(6分)
2°當直線AB的斜率存在時,
設AB:y=k(x-1)(k≠0),則CD:y=-
1
k
(x-1)

又設點A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立方程組
y=k(x-1)
3x2+4y2=12

消去y并化簡得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
x1+x2=
8k2
4k2+3
x1x2=
4k2-12
4k2+3
…(7分)
|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
1+k2
|x1-x2|

=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2

=
1+k2
64k4-16(k2-3)(4k2+3)
(4k2+3)2

=
12(k2+1)
4k2+3
,…(8分)
由題知,直線CD的斜率為-
1
k

同理可得|CD|=
12(1+k2)
4+3k2
…(9分)
所以
1
|AB|
+
1
|CD|
=
7k2+7
12(k2+1)
=
7
12
為定值.…(10分)
(Ⅲ)由(II)知
1
|AB|
+
1
|CD|
=
7
12
,
|AB|+
9
16
|CD|=
12
7
(|AB|+
9
16
|CD|)(
1
|AB|
+
1
|CD|
)
…(11分)
=
12
7
(
25
16
+
9
16
|CD|
|AB|
+
|AB|
|CD|
)

12
7
(
25
16
+2
9
16
|CD|
|AB|
×
|AB|
|CD|
)=
21
4
,…(12分)
當且僅當
9
16
|CD|
|AB|
=
|AB|
|CD|
,
|AB|=
3
4
|CD|
,即|AB|=3,|CD|=4時取等號…(13分)
|AB|+
9
16
|CD|
的最小值為
21
4
.…(14分)
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知直線L過點P(2,0),斜率為
4
3
,直線L和拋物線y2
=2x相交于A,B兩點,設線段AB的中點為M,求:
(1)P,M兩點間的距離/PM/:(2)M點的坐標;(3)線段AB的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

設A,B∈R,A≠B且AB≠0,則方程Bx-y+A=0和
x2
B
-
y2
A
=1
在同一坐標系下的圖象可能是( 。
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知點P是橢圓16x2+25y2=1600上一點,且在x軸上方,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點,直線PF2的斜率為-4
3
,則△PF1F2的面積為( 。
A.32
3
B.24
3
C.32
2
D.24
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點分別為F1(-1,0)、F2(1,0),O是坐標原點,C的右頂點和上頂點分別為A、B,且△AOB的面積為
5

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點P(4,0)作與x軸不重合的直線l與C交于相異兩點M、N,交y軸于Q點,證明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
為定值,并求這個定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F與雙曲
x2
4
-
y2
5
=1
的右焦點重合,拋物線的準線與x軸的交點為K,點A在拋物線上且|AK|=
2
|AF|
,則A點的橫坐標為( 。
A.2
2
B.3C.2
3
D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

已知F1,F(xiàn)2是橢圓
x2
16
+
y2
9
=1
的兩焦點,過點F2的直線交橢圓于A,B兩點,在△AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長度為______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線的方程為5x2-4y2=20兩個焦點為F1,F(xiàn)2
(1)求此雙曲線的焦點坐標和漸近線方程;
(2)若橢圓與此雙曲線有共同的焦點,且有一公共點P滿足|PF1|•|PF2|=6,求橢圓的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
6
3
,過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點的距離為
3
2

(1)求橢圓的方程.
(2)已知定點E(-1,0),若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、D兩點.問:是否存在k的值,使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案