Question

【題目】為美化校園，江蘇省淮陰中學(xué)將一個(gè)半圓形的邊角地改造為花園.如圖所示，O為圓心，半徑為1千米，點(diǎn)A、B、P都在半圓弧上，設(shè)∠NOP=∠POA=，∠AOB=，且.

（1）請(qǐng)用分別表示線(xiàn)段NA、BM的長(zhǎng)度；

（2）若在花園內(nèi)鋪設(shè)一條參觀(guān)線(xiàn)路，由線(xiàn)段NA、AB、BM三部分組成，則當(dāng)取何值時(shí)，參觀(guān)線(xiàn)路最長(zhǎng)？

（3）若在花園內(nèi)的扇形ONP和四邊形OMBA內(nèi)種滿(mǎn)杜鵑花，則當(dāng)取何值時(shí)，杜鵑花的種植總面積最大？

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）

【解析】

（1）利用余弦定理表示，，并用二倍角公式化簡(jiǎn)，得答案；

（2）由（1）用表示長(zhǎng)度l，利用換元法求得最大值；

（3）由扇形面積和三角形的面積公式，用表示面積S，對(duì)S求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，從而求得最大值.

（1）由余弦定理可知：

因?yàn)?/span>，所以，所以，；

（2）由題可知AB=NA=，

所以參觀(guān)路線(xiàn)的長(zhǎng)度=

令,即

當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)即時(shí)，參觀(guān)路線(xiàn)最長(zhǎng)

（3）由題可知扇形ONP的面積

三角形AOB的面積

三角形BOM的面積

所以杜鵑花的種植總面積

令得或（舍）

因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)時(shí)，，S單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，S單調(diào)遞減

所以時(shí)，杜鵑花的種植總面積最大