Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=1，a_n+2-5a_n+1+6a_n=0，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：根據(jù)題意可得{a_n+1-3a_n}是以-5為首項以2為公比的等比數(shù)列，{a_n+1-2a_n}是以-3為首項以3為公比的等比數(shù)列，即而得到a_n+1-3a_n=-5×2^n-1，①，a_n+1-2a_n=-3×3^n-1②，解得a_n即可

解答： 解：因為數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=1，a_n+2-5a_n+1+6a_n=0（n∈N*），
∴a_n+2-3a_n+1=2a_n+1-6a_n，a_n+2-2a_n+1=3（a_n+1-2a_n）
∴

an+2-3an+1

an+1-3an

=2，

an+2-2an+1

an+1-2an

=3，
∴a₂-3a₁=1-3×2=-5，a₂-2a₁=1-2×2=-3，
∴{a_n+1-3a_n}是以-5為首項以2為公比的等比數(shù)列，{a_n+1-2a_n}是以-3為首項以3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1-3a_n=-5×2^n-1，①，a_n+1-2a_n=-3×3^n-1②
②-①得，a_n=5×2^n-1-3ⁿ，
驗證a₁=2，a₂=1，成立，
故數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=5×2^n-1-3ⁿ，

點評：本題主要考查利用遞推公式求數(shù)列的通項公式，考查學生構造數(shù)列的數(shù)學思想方法的運用能力及運算求解能力，屬于中檔題．