Question

已知函數f（x）=alnx+bx（a，b∈R），g（x）=

1

2

x²-（m+

1

m

）x（m＞0），且y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函數h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，2）內有且僅有一個極值點，求m的取值范圍；
（Ⅲ）設M（x，y）（x＞m+

1

m

）為兩曲線y=f（x）+c（c∈R），y=g（x）的交點，且兩曲線在交點M處的切線分別為l₁，l₂．若取m=1，試判斷當直線l₁，l₂與x軸圍成等腰三角形時c值的個數并說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用函數在點（1，f（1））處的導數值即曲線的斜率及點在曲線上求得a，b的值；
（Ⅱ）由h'（x）=0得(x-m)(x-

1

m

)=0，得兩根為m，

1

m

，分當0＜m＜2≤

1

m

或0＜

1

m

＜2≤m兩種情況討論得出結論；
（Ⅲ）利用導數值與曲線斜率相等，及斜率與直線的傾斜角的關系，設兩切線l₁，l₂的傾斜角分別為α，β，
則tanα=f′(x)=

1

x

，tanβ=g′(x)=x-2，由題意可分α=2β，β=2α兩種情況，逐一加以說明即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

a

x

+b，∴f'（1）=a+b=1，又f（1）=b=0，
∴a=1，b=0．                                   …（3分）
（Ⅱ）h(x)=lnx+

1

2

x2-(m+

1

m

)x；
∴h′(x)=

1

x

+x-(m+

1

m

)
由h'（x）=0得(x-m)(x-

1

m

)=0，
∴x=m或x=

1

m

．                               …（5分）
∵m＞0，當且僅當0＜m＜2≤

1

m

或0＜

1

m

＜2≤m時，函數h（x）在區(qū)間（0，2）內有且僅有一個極值點．                 …（6分）
若0＜m＜2≤

1

m

，即0＜m≤

1

2

，當x∈（0，m）時h'（x）＞0；當x∈（m，2）時h'（x）＜0，函數h（x）有極大值點x=m，
若0＜

1

m

＜2≤m，即m≥2時，當x∈(0，

1

m

)時h'（x）＞0；當x∈(

1

m

，2)時h'（x）＜0，函數h（x）有極大值點x=

1

m

，
綜上，m的取值范圍是{m|0＜m≤

1

2

或m≥2}．…（8分）
（Ⅲ）當m=1時，設兩切線l₁，l₂的傾斜角分別為α，β，
則tanα=f′(x)=

1

x

，tanβ=g′(x)=x-2，
∵x＞2，∴α，β均為銳角，…（9分）
當α＞β，即2＜x＜1+

2

時，若直線l₁，l₂能與x軸圍成等腰三角形，則α=2β；當α＜β，即x＞1+

2

時，若直線l₁，l₂能與x軸圍成等腰三角形，則β=2α．
由α=2β得，tanα=tan2β=

2tanβ

1-tan2β

，
得

1

x

=

2(x-2)

1-(x-2)2

，即3x²-8x+3=0，
此方程有唯一解x=

4+ 7

3

∈(2，1+

2

)，直線l₁，l₂能與x軸圍成一個等腰三角形．…（11分）
由β=2α得，tanβ=tan2α=

2tanα

1-tan2α

，
得x-2=

2• 1 x

1- 1 x2

，即x³-2x²-3x+2=0，
設F（x）=x³-2x²-3x+2，F'（x）=3x²-4x-3，
當x∈（2，+∞）時，F'（x）＞0，∴F（x）在（2，+∞）單調遞增，則F（x）在(1+

2

，+∞)單調遞
增，由于F(

5

2

)＜0，且1+

2

＜

5

2

，所以F(1+

2

)＜0，則F(1+

2

)F(3)＜0，
即方程x³-2x²-3x+2=0在（2，+∞）有唯一解，直線l₁，l₂能與x軸圍成一個等腰三角形．
因此，當m=1時，有兩處符合題意，所以直線l₁，l₂能與x軸圍成等腰三角形時，c值的個數有2個．                         …（14分）

點評：本題屬導數的綜合應用題，考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的極值，理解掌握分類討論的思想方法．．