Question

4．過拋物線x²=2py（p＞0）上的兩點A、B作該拋物線的切線l₁，l₂，若l₁與l₂交于點M（2，-2p），且線段AB中點的縱坐標為9，則p的值為$\frac{1}{2}$或4．

Answer 1

分析 利用導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，利用切線方程可得交點，利用中點坐標公式即可得出．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）．則y₁=$\frac{{x}_{1}^{2}}{2p}$，${y}_{2}=\frac{{x}_{2}^{2}}{2p}$．
對拋物線x²=2py兩邊求導可得：y′=$\frac{x}{p}$．
∴兩點A、B作該拋物線的切線l₁，l₂方程分別為：y-$\frac{{x}_{1}^{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{1}}{p}$（x-x₁），$y-\frac{{x}_{2}^{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{2}}{p}$（x-x₂），
聯(lián)立解得：x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2，y=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2p}$=-2p，
∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{4p}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{4p}$=$\frac{16+8{p}^{2}}{4p}$=9，
解得p=$\frac{1}{2}$或4．
故答案為：$\frac{1}{2}$或4．

點評 本題考查了拋物線的定義及其性質、切線方程、利用導數(shù)的幾何意義研究切線、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．