定義在[-1,1]上的奇函數(shù)f(x),已知當x∈[-1,0]時,f(x)=
1
4x
-
a
2x
(a∈R)
(Ⅰ)求f(x)在[0,1]上的最大值;
(Ⅱ)若f(x)是[0,1]上的增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)先求出f(x)在[0,1]上的解析式,再換元,利用配方法,分類討論,可求函數(shù)的最大值;
(Ⅱ)求導數(shù),利用f′(x)≥0在[0,1]上恒成立,在利用分離參數(shù)法,即可求實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)設x∈[0,1],則-x∈[-1,0]
∵當x∈[-1,0]時,f(x)=
1
4x
-
a
2x
(a∈R)
∴f(-x)=
1
4-x
-
a
2-x
=4x-a•2x
∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)=-4x+a•2x(x∈[0,1])
 令t=2x,t∈[1,2],則g(t)=at-t2=-(t-
a
2
2+
a2
4

a
2
≤1
,即a≤2時,g(t)max=g(1)=a-1;
當1<
a
2
<2,即2<a<4時,g(t)max=g(
a
2
)=
a2
4
;
當a≥4時,g(t)max=g(2)=2a-4
綜上,當a≤2時,f(x)的最大值為a-1;當2<a<4時,f(x)的最大值為
a2
4
;當a≥4時,f(x )的最大值為2a-4.
(Ⅱ)因為函數(shù)f(x)在0,1上是增函數(shù),
所以f′(x)=2xln2(a-2•2x)≥0
∴a-2•2x≥0恒成立
∴a≥2•2x
∵x∈[0,1],∴2x∈[1,2]
∴a≥4.
點評:本題考查函數(shù)解析式的確定,考查函數(shù)的最值,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查導數(shù)知識的運用,考查分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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設f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且其圖象上任意兩點連線的斜率均小于零.
(1)證明f(x)在[-1,1]上是減函數(shù);
(2)如果f(x-c),f(x-c2)的定義域的交集為空集,求實數(shù)c的取值范圍;
(3)證明:若-1≤c≤2,則f(x-c),f(x-c2)存在公共的定義域,并求出這個公共的定義域.

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定義在[-1,1]上的奇函數(shù)f(x),當-1≤x<0時,f(x)=-
2x
4x+1

(Ⅰ)求f(x)在[-1,1]上解析式;
(Ⅱ)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性,并給予證明;
(Ⅲ)當x∈(0,1]時,關于x的方程
2x
f(x)
-2x+λ=0
有解,試求實數(shù)λ的取值范圍.

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