【題目】設(shè)函數(shù), = .
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
(1)求滿足條件的最小正整數(shù)的值;
(2)求證: .
【答案】(Ⅰ)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;
(Ⅱ)(1)3;(2)見解析.
【解析】試題分析:
(Ⅰ)求單調(diào)區(qū)間,只要求得導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論的范圍(和)可解不等式和不等式,從而得單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)(1)求得,由有兩個(gè)零點(diǎn)得, 的最小值為,且, 由此可得,由函數(shù)是增函數(shù),通過(guò)估值可得最小正整數(shù)的值;(2)證明,設(shè),由,可把用表示,不等式中的可替換,然后變形為的不等式,設(shè),則,只要證相應(yīng)地關(guān)于的不等式在上成立,這又可用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)的函數(shù)得出.
試題解析:
(Ⅰ).
當(dāng)時(shí), 在上恒成立,所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為,
此時(shí) 無(wú)單調(diào)減區(qū)間.
當(dāng)時(shí),由,得, ,得,
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
(Ⅱ)(1).
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn),所以,此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞增, 在單調(diào)遞減.
所以的最小值,即.
因?yàn)?/span>,所以.
令,顯然在上為增函數(shù),且
,所以存在.
當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,所以滿足條件的最小正整數(shù).
又當(dāng)時(shí), ,所以時(shí), 有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,滿足條件的最小正整數(shù)的值為3.
(2)證明 :不妨設(shè),于是
即,
.
所以.
因?yàn)?/span>,當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,
故只要證>即可,即證明,
即證,
也就是證.
設(shè).
令,則.
因?yàn)?/span>,所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), ,
所以在上是增函數(shù).
又,所以當(dāng)總成立,所以原題得證.
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(1); (2);
(3); (4).
有兩個(gè)結(jié)論:甲:是等邊三角形; 乙:是等腰直角三角形.
請(qǐng)你選出給定的四個(gè)條件中的兩個(gè)為條件,兩個(gè)結(jié)論中的一個(gè)為結(jié)論,寫出一個(gè)你認(rèn)為正確的命題__________.
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【題目】如圖,在某港口處獲悉,其正東方向距離20n mile的處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救,此時(shí)救援船在港口的南偏西30°距港口10n mile的C處,救援船接到救援命令立即從C處沿直線前往B處營(yíng)救漁船.
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(2)試問(wèn)救援船在C處應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援?(已知)
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A.g(x)=sin(4x+ )
B.g(x)=sin(8x﹣ )??
C.g(x)=sin(x+ )
D.g(x)=sin4x
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A.y=2sin( x+ )
B.y=2sin( x+ )
C.y=2sin( x+ )
D.y=2sin( x+ )
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