Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x-3．
（1）若a=4，求當(dāng)x∈[2，5]時函數(shù)f（x）的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若a=4，我們要以根據(jù)函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x-3，根據(jù)x∈[2，5]，利用零點分段法，分別求出2≤x＜4時和4≤x≤5時，函數(shù)的最大值，進而根據(jù)分段函數(shù)最大值的定義得到答案．
（2）根據(jù)零點分段法，我們可以將函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x-3的解析式化為分段函數(shù)的形式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以得到第一段函數(shù)的對稱軸不小于a，而第二段函數(shù)的對稱軸不大于a，進而構(gòu)造出一個關(guān)于a的不等式組，解不等式組，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）a=4時，f（x）=x|x-4|+2x-3，
若2≤x＜4，f（x）=-x²+6x-3=-（x-3）²+6
∴當(dāng)x=3時，f（x）有最大值是f（3）=6…（4分）
若4≤x≤5，f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴當(dāng)x=5時，f（x）有最大值是f（5）=12
故當(dāng)x=5時，f（x）有最大值12                            …（8分）
（2）從已知f(x)=

x2-(a-2)x-3   x≥a -x2+(a+2)x-3   x＜a

…（10分）
依題意，

a-2 2 ≤a a+2 2 ≥a

⇒-2≤a≤2，f（x）是R上的增函數(shù)       …（13分）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，帶絕對值的函數(shù)，分段函數(shù)的解析式求法，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中（1）的關(guān)鍵是利用零點分段法，確定分類標(biāo)準，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)第一段函數(shù)的對稱軸不小于a，而第二段函數(shù)的對稱軸不大于a，構(gòu)造出一個關(guān)于a的不等式組．