Question

4．求滿足下列條件的曲線方程
（1）已知拋物線頂點(diǎn)是雙曲線16x²-9y²=144的中心，準(zhǔn)線過雙曲線的左頂點(diǎn)，且垂直于坐標(biāo)軸，求該拋物線的方程．
（2）已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同焦點(diǎn)，直線y=$\sqrt{3}$x為C的一條漸近線，求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），得拋物線的準(zhǔn)線為x=-3，由此能求出拋物線的方程．
（2）求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；據(jù)雙曲線的系數(shù)滿足c²=a²+b²；雙曲線的漸近線的方程與系數(shù)的關(guān)系列出方程組，求出a，b，即可寫出雙曲線方程．

解答 解：（1）雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），故拋物線的準(zhǔn)線為x=-3，…（1分）
依題意設(shè)拋物線方程為：y²=2px，-$\frac{p}{2}$=-3，即p=6．…（3分）
所以拋物線的方程為：y²=12x．…（5分）
（2）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，求得兩焦點(diǎn)為（-2，0），（2，0），（6分）
∴對于雙曲線C：c=2．（7分）
又y=$\sqrt{3}$x為雙曲線C的一條漸近線，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，…（8分）
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，（9分）
∴雙曲線C的方程為：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．（10分）

點(diǎn)評 本題考查利用待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程，其中橢圓中三系數(shù)的關(guān)系是：a²=b²+c²，雙曲線中系數(shù)的關(guān)系是：c²=a²+b²，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓、拋物線、雙曲線的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．