Question

在平面直角坐標系xoy中，動點P到定點(0，

3

)距離與到定直線：y=

4 3

3

的距離之比為

3

2

．設動點P的軌跡為C．
（1）寫出C的方程；
（2）設直線y=kx+1與交于A，B兩點，當|

AB

|=

8 2

5

時，求實數(shù)k的值．
（3）若點A在第一象限，證明：當k＞0時，恒有|

OA

|＞|

OB

|.

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），則依題意有：

(x-0)2+(y- 3 )2

|y- 4 3 3 |

=

3

2

，化簡得x2+

y2

4

=1，由此可求出曲線C的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

，消去y并理得（k²+4）x²+2kx-3=0．再由根與系數(shù)的關系能夠推懷出實數(shù)k=±1．
（3）由題意知|

OA

|2-|

OB

|2=(

x

2 1

+

y

2 1

)-(

x

2 2

+

y

2 2

)=x₁²-x₂²+（kx₁+1）²-（kx₂+1）²=（x₁-x₂）[（x₁+x₂）（1+k²）+2k]=

6k(x1-x2)

k2+4

.由此可知在題設條件下，恒有|

OA

|＞|

OB

|.

解答：解：（1）設P（x，y），則依題意有：

(x-0)2+(y- 3 )2

|y- 4 3 3 |

=

3

2

，化簡得x2+

y2

4

=1
故曲線C的方程為x2+

y2

4

=1（4分）
注：若直接用c=

3

，

a 2

c

=

4 3

3

，
得出x2+

y2

4

=1，給（2分）．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

消去y并理得（k²+4）x²+2kx-3=0
故x1+x2=

-2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

.（5分）
|

AB

|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k)2(x2-x1)2

，
而(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=(

-2k

k2+4

)2+

12

k2+4

=

16k2+48

(k2+4)2

∴

64×2

25

=(1+k2)×

16k2+48

(k2+4)2

化簡整理得17k⁴+36k²-53=0（7分）
解得：k²=1經(jīng)檢驗k=±1時方程※的△＞0∴k=±1
（3）|

OA

|2-|

OB

|2=(

x

2 1

+

y

2 1

)-(

x

2 2

+

y

2 2

)=x₁²-x₂²+（kx₁+1）²-（kx₂+1）²=（x₁-x₂）[（x₁+x₂）（1+k²）+2k]=

6k(x1-x2)

k2+4

.
因為A在第一象限，故x₁＞0．
由x1x2=-

3

k2+4

知x2＜0，從而k＞0.
故|

OA

|2-|

OB

|2＞0，
即在題設條件下，恒有|

OA

|＞|

OB

|.（12分）

點評：本題考查圓錐曲線知識的綜合運用，解題時要注意公式的靈活運用，認真審題，仔細解答．