Question

如圖，某紙箱廠用矩形硬紙板（PQST）割去四個(gè)矩形角，設(shè)計(jì)為按虛線折疊成的長(zhǎng)方體紙箱．其中矩形ABCD為長(zhǎng)方體的下底面，兩全等矩形EFNM、HGNM拼成長(zhǎng)方體紙箱蓋，設(shè)紙箱長(zhǎng)AB為x．

（Ⅰ）若長(zhǎng)方體紙箱的長(zhǎng)、寬、高分別為80cm、50cm、40cm、則硬紙板PQST的長(zhǎng)、寬應(yīng)為多大？

（Ⅱ）若硬紙板PQST的長(zhǎng)PT=240cm，寬TS=150cm，按此設(shè)計(jì)，當(dāng)紙箱的長(zhǎng)AB為何值時(shí)，紙箱體積最大？并計(jì)算最大體積．

 

Answer 1

（Ⅰ）由題意：PQ=AB+2H₁A=80+2×40=160（cm），

           PT=AD+2AH+2HM=2AD+2AH=2×50+2×40=180（cm）．      …………………………4分

（Ⅱ）∵PT=240，PQ=150，AB為x（0＜x＜150），

      ∴AH=AH₁=（TS－AB）=（150－x）．

       ∵AD= M₁H+EM，AH=DE，

∴AD=（MM₁－2AH）=（PT－2AH）=[240－（150－x）]=45+x，     ……………7分

          ∴紙箱體積V（x）= x（150－x）（45+x）=－ x³+15 x²+3375x．    …………………8分

             V′(x)=－ x²+30 x+3375．

           令V′(x)=0，x²－40x－4500=0，解得：x₁=90，x₂=－50（不合題意，舍去）．………10分

        當(dāng)x∈（0，90）時(shí)，V′(x)＞0，V（x）是增函數(shù)；

當(dāng)x∈（90，150）時(shí)，V′(x)＜0，V（x）是減函數(shù)，

∴當(dāng)x=90時(shí)，V（x）取到極大值V（90）=243000．             …………………12分

∵V（x）在（0，150）上只有一個(gè)極值，所以它是最大值．

∴當(dāng)紙箱的長(zhǎng)AB=90時(shí)，紙箱體積最大，最大體積為243000（cm³）．………………14分