Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，且曲線的左焦點在直線上．

（1）若直線與曲線交于兩點，求的值；

（2）設曲線的內接矩形的周長為，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）首先求出曲線的普通方程和焦點坐標, 然后將直線的參數方程代入曲線的普通方程, 利用根與系數的關系和參數的幾何意義, 即可得到結果；（2）首先根據橢圓參數方程設出動點的坐標, 然后將矩形周長用三角函數表示出, 再利用三角函數的有界性求解 ．

試題解析：（1）已知曲線的標準方程為，則其左焦點為，則，將直線的參數方程與曲線的方程聯立，得，則．

（2）由曲線的方程為，可設曲線上的動點，則以為頂點的內接矩形周長為，因此該內接矩形周長的最大值為．