Question

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和為S_n（n∈N₊），則關(guān)于{a_n}有下列三個(gè)命題：
①若a_n+1=a_n，則{a_n}即是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；
②若S_n=an²+bn（a，b∈R）?{a_n}是等差數(shù)列；
③若S_n=1-（-1）ⁿ，則{a_n}是等比數(shù)列．
則正確的命題是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：對(duì)于①，直接據(jù)反例進(jìn)行判斷；對(duì)于②和③，利用數(shù)列中a_n與S_n的關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義加以驗(yàn)證．

解答： 解：對(duì)于①、如：數(shù)列0、0、0、…，是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列，則①不正確；
對(duì)于②、由S_n=an²+bn，（a，b∈R），當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=a+b，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=an²+bn-[a（n-1）²+b（n-1）]=2an-a+b．
當(dāng)n=1時(shí)a₁適合上式．
∴a_n=2an-a+b．滿足a_n+1-a_n=2a為常數(shù)，則{a_n}是等差數(shù)列，
當(dāng){a_n}是等差數(shù)列時(shí)，S_n=na1+

n(n-1)

2

d=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n，
即為S_n=an²+bn（a，b∈R）形式，成立，則②正確；
對(duì)于③、若S_n=1-（-1）ⁿ，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=1-（-1）ⁿ-[1-（-1）^n-1]=（-1）ⁿ⁺¹+（-1）^n-1，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=2．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=-2．
所以{a_n}是等比數(shù)列，則③正確；
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，以及數(shù)列中a_n與S_n的關(guān)系式應(yīng)用，解答的關(guān)鍵在于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與掌握．