Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx，a∈R
（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在實數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（3）求證：當(dāng)x∈（0，e]時，e²x-＞lnx+．

Answer 1

（1）解：求導(dǎo)函數(shù)可得
因為函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，所以≤0在[1，2]上恒成立，
令 h（x）=2x²+ax-1，有得，∴；
（2）解：假設(shè)存在實數(shù)a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′（x）=
①當(dāng)a≤0時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=（舍去），
②當(dāng)0＜＜e時，g（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，e]上單調(diào)遞增
∴g（x）_min=g（））=1+lna=3，a=e²，滿足條件．
③當(dāng)時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=（舍去），
綜上，存在實數(shù)a=e²，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3．
（3）證明：由（2）知當(dāng)a=e²，g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，即g（x）=e²x-lnx≥3
又原不等式成立只須e²x-lnx＞+成立
令F（x）=+，則F′（x）=
當(dāng)0＜x≤e時，F(xiàn)'（x）≥0，∴F（x）在（0，e]上單調(diào)遞增
故F（x）_max=F（e）=3
故當(dāng)x∈（0，e]時，e²x-＞lnx+，即原命題得證
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，可得≤0在[1，2]上恒成立，考查函數(shù)h（x）=2x²+ax-1，即可確定a的取值范圍；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)g（x）的最小值是3，即可求出a的值；
（3）原不等式成立只須e²x-lnx＞+成立．利用g（x）=e²x-lnx≥3，證明+＜3即可．
點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．