Question

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且c=

3

asinC-ccosA．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）設(shè)a=

3

，求b+c的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知等式，整理后得到sin（A-

π

6

）=

1

2

，利用特殊角的三角函數(shù)值化簡即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）利用正弦定理列出關(guān)系式，將a與sinA的值代入表示出b與c，進(jìn)而表示出b+c，利用兩角和與差得正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)B的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出b+c的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由c=

3

asinC-ccosA得：sinC=

3

sinAsinC-sinCcosA，
∵sinC≠0，∴1=

3

sinA-cosA=2sin（A-

π

6

），即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
又0＜A＜π，∴A=

π

3

；
（Ⅱ）由正弦定理得

b

sinB

=

c

sinC

a

sinA

=

3

3 2

=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（

2π

3

-B）=2（

3

2

sinB+

3

2

cosB）=2

3

（

3

2

sinB+

1

2

cosB）=2

3

sin（B+

π

6

），
其中B∈（0，

2π

3

），
∵B+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
∴當(dāng)B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時(shí)，（b+c）_max=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．