Question

已知平面凸四邊形ABCD的邊長(zhǎng)均大于2，且∠DAB=45°，點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且在AB、AD上的射影分別為M、N，若PA=2，則△PMN面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：設(shè)∠PAM=α，求出PM、PN，然后利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)表達(dá)式，通過三角函數(shù)的最值求解即可．

解答： 解：如圖設(shè)∠PAM=α，PM=2sinα，PN=2sin（45°-α），
△PMN面積S=

1

2

PM•PNsin135°=

2

sinαsin（45°-α）
=sinαcosα-sin²α
=

1

2

sin2α-

1

2

(1-cos2α)
=

2

2

sin（2α+45°）-

1

2

．
∵α∈[0°，45°]，2α+45°∈[45°，135°]，

2

2

sin（2α+45°）-

1

2

≤

2

2

-

1

2

．
三角形面積的最大值為：

2

2

-

1

2

．
故答案為：

2

2

-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．