Question

14．在平行四邊形ABCD中，A（1，1），$\overrightarrow{AB}$=（6，0），$\overrightarrow{AD}$=（3，5）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)M是線段AB的中點(diǎn)，且線段CM與BD交于點(diǎn)P，求$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，設(shè)C的坐標(biāo)為（x，y），求出B，D點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量的平行即可求出，
（2）先根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M的坐標(biāo)，再分別求出直線得到直線CM與直線BD的方程，解方程組得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的數(shù)量積即可求出．

解答 解：（1）設(shè)C的坐標(biāo)為（x，y），A（1，1），$\overrightarrow{AB}$=（6，0），$\overrightarrow{AD}$=（3，5）．
∴B（7，1），D（4，6），
∴$\overrightarrow{DC}$=（x-4，y-6），$\overrightarrow{BC}$=（x-7，y-1），
∵$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{BC}$，
∴（x-4）×0=6（y-6），3（y-1）=5（x-7）
解得y=6，x=10，
∴C（10，6），
（2）M是線段AB的中點(diǎn)，
∴M（4，1），
根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程，得到直線CM的方程為$\frac{y-1}{6-1}$=$\frac{x-4}{10-4}$，即5x-6y-14=0，
直線BD的方程為$\frac{y-6}{1-6}$=$\frac{x-4}{7-4}$，即5x+3y-38=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{5x-6y-14=0}\\{5x-3y-2=0}\end{array}\right.$，解得x=6，y=$\frac{8}{3}$，
∴P（6，$\frac{8}{3}$），
∴$\overrightarrow{PM}$=（-2，-$\frac{5}{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，-$\frac{5}{3}$），
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PB}$=-2×1+（-$\frac{5}{3}$）×（-$\frac{5}{3}$）=$\frac{7}{9}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及直線與方程的問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．