Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時，f（x）=2013^x+log₂₀₁₃x，則方程f（x）=0的實數(shù)根的個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、5

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，得到f（0）=0，然后，當(dāng)x＞0時，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=-2013^x y=log₂₀₁₃x，可以得到圖象有一個交點，得到方程有一個實根，然后，根據(jù)對稱性得到相應(yīng)的方程的根的個數(shù)．

解答： 解：∵在R上的奇函數(shù)f（x），
∴f（0）=0，
∴x=0是方程f（x）=0的一個實根，
當(dāng)x＞0時，f（x）=2013^x+log₂₀₁₃x=0，
∴-2013^x=log₂₀₁₃x，
設(shè)函數(shù)y=-2013^x y=log₂₀₁₃x，
在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖象如下：

∴當(dāng)x＞0時，該方程有一個實根，
又∵函數(shù)為奇函數(shù)，
∴它們的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，
∴當(dāng)x＜0時，該方程也有一個實根，
總之，該方程有三個實根，
故選：C

點評：本題綜合考查了函數(shù)為奇函數(shù)及其性質(zhì)，屬于中檔題，掌握數(shù)形結(jié)合思想在求解問題中的靈活運用．