Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-k-1|-kx．
（1）若k=1，求方程f（x）=0的解；
（2）若k＞0，不等式f（x）≤0的解集為A，
①求集合A；
②若集合B={x|（x-1）（x-2）（x-3k）≥0}，A⊆B，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若k=1，函數(shù)f（x）=|x²-2|-x，分 x² ≥2和 x² ＜2兩種情況分別求出方程f（x）=0的解．
（2）①若k＞0，不等式即|x²-k-1|≤kx，結(jié)合圖象 不等式f（x）≤0的解集 A={x|1≤x≤k+1}．
②分0＜3k＜1、3k=1、2＞3k＞1、3k=2、3k＞2五種情況分別求出集合B，由A⊆B求出k的范圍，最后取并集，即得所求．

解答：解：（1）若k=1，函數(shù)f（x）=|x²-k-1|-kx=|x²-2|-x．
當(dāng) x² ≥2時(shí)，f（x）=x²-2-x，由f（x）=0 解得 x=-1 或 x=2（舍去）．
當(dāng) x² ＜2時(shí)，f（x）=2-x² -x，f（x）=0 解得 x=-2（舍去）或x=1．
綜上，x=-1 或x=1．
（2）若k＞0，不等式f（x）≤0，即|x²-k-1|≤kx．
①由|x²-k-1|=kx，解得 x=1 或 x=k+1，結(jié)合圖象可得 方程|x²-k-1|=kx 的解為x=1 和 x=k+1，
故不等式f（x）≤0的解集 A={x|1≤x≤k+1}．

②若集合B={x|（x-1）（x-2）（x-3k）≥0}，A={x|1≤x≤k+1}
當(dāng) 0＜3k＜1時(shí)，B={x|1≥x≥3k 或 x≥2}，由A⊆B 可得 k不存在．
當(dāng)3k=1時(shí)，B={x|x≥2}，A⊆B不可能．
當(dāng)2＞3k＞1時(shí)，B={x|3k≥x≥1 或 x≥2}，由A⊆B 可得k+1≤3k，k≥

1

2

，從而可得

2

3

＞k≥

1

2

．
當(dāng)3k=2時(shí)，B={x|x≥1}，A⊆B 恒成立，故 k=

2

3

滿足條件．
當(dāng)3k＞2時(shí)，B={x|x≥3k 或1≤x≤2}，由A⊆B 可得k+1≤2，k≤1，從而可得1≥k＞

2

3

．
綜上可得 1≥k≥

1

2

，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為[

1

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合關(guān)系中參數(shù)的取值范圍問題，帶有絕對(duì)值得函數(shù)的研究方法，體現(xiàn)了分類討論及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．