Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n＝(n+1)²+c，探究{a_n}是等差數(shù)列的充要條件.

Answer 1

{a_n}為等差數(shù)列的充要條件是c＝－1
主要考查充要條件的概念及充要條件的判定方法。
解　當{a_n}是等差數(shù)列時，∵S_n＝(n＋1)²＋c，
∴當n≥2時，S_n－1＝n²＋c，
∴a_n＝S_n－S_n－1＝2n＋1，
∴a_n＋1－a_n＝2為常數(shù)．
又a₁＝S₁＝4＋c，
∴a₂－a₁＝5－(4＋c)＝1－c，
∵{a_n}是等差數(shù)列，∴a₂－a₁＝2，∴1－c＝2.
∴c＝－1，反之，當c＝－1時，S_n＝n²＋2n，
可得an＝2n＋1 (n≥1)為等差數(shù)列，
∴{a_n}為等差數(shù)列的充要條件是c＝－1.