Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+ax²+bx，且f′（-1）=0．
（1）試用含a的代數式表示b；
（2）求f（x）的單調區(qū)間；
（3）令a=-1，設函數f（x）在x₁、x₂（x₁＜x₂）處取得極值，記點M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂））．證明：線段MN與曲線f（x）存在異于M，N的公共點．

Answer 1

分析：（1）據求導法則求出導函數，代入已知條件得關系．
（2）令導數為0得兩個根，分類討論兩個根大小判斷根左右兩邊導數的符號，得函數單調性．
（3）由（2）求出極值點，由兩點式求出直線方程，與曲線方程聯立判斷有無其他公共點．

解答：解：解法一：（1）依題意，得
f′（x）=x²+2ax+b．
由f′（-1）=1-2a+b=0得b=2a-1．
（2）由（1）得f（x）=x³+ax²+（2a-1）x，故f′（x）=x²+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）．
令f′（x）=0，則x=-1或x=1-2a．
①當a＞1時，1-2a＜-1．
當x變化時，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

由此得，函數f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調減區(qū)間為（1-2a，-1）．
②當a=1時，1-2a=-1．此時，f′（x）≥0恒成立，且僅在x=-1處f′（x）=0，故函數f（x）的單調增區(qū)間為R．
③當a＜1時，1-2a＞-1，同理可得函數f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），單調減區(qū)間為（-1，1-2a）．
綜上所述：當a＞1時，函數f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調減區(qū)間為（1-2a，-1）；
當a=1時，函數f（x）的單調增區(qū)間為R；
當a＜1時，函數f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），單調減區(qū)間為（-1，1-2a）．
（3）當a=-1時，得f（x）=

1

3

x³-x²-3x．
由f′（x）=x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3．
由（2）得f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞），單調減區(qū)間為（-1，3），
所以函數f（x）在x₁=-1，x₂=3處取得極值．故M（-1，

5

3

），N（3，-9）．
所以直線MN的方程為y=-

8

3

x-1．
由

y= 1 3 x3-x2-3x y=- 8 3 x-1

得x³-3x²-x+3=0．
令F（x）=x³-3x²-x+3．
易得F（0）=3＞0，F（2）=-3＜0，而F（x）的圖象在（0，2）內是一條連續(xù)不斷的曲線，
故F（x）在（0，2）內存在零點x₀，這表明線段MN與曲線f（x）有異于M，N的公共點．
解法二：（1）同解法一．
（2）同解法一．
（3）當a=-1時，得f（x）=

1

3

x³-x²-3x．
由f′（x）=x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3．
由（2）得f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞），單調減區(qū)間為（-1，3），所以函數f（x）在x₁=-1，x₂=3處取得極值，
故M（-1，

5

3

），N（3，-9）．
所以直線MN的方程為y=-

8

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x-1．
由x³-3x²-x+3=0．
解得x₁=-1，x₂=1，x₃=3．
∴

x1=-1 y1= 5 3

，

x2=1 y2=- 11 3

，

x3=3 y3=-9

所以線段MN與曲線F（x）有異于M，N的公共點（1，-

11

3

）．

點評：本小題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想．