Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|x-a²|-a²，若對(duì)任意的x∈R，恒有f（x+a）≥f（x），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：此題是一道填空題，因此可以采用數(shù)形結(jié)合的方法解決，“對(duì)任意的x∈R，恒有f（x+a）≥f（x）”也就相當(dāng)于在實(shí)數(shù)集R上，f（x+a）的圖象恒在f（x）的圖象上方，據(jù)此列出關(guān)于a的不等式解出來即可．

解答： 解：當(dāng)x＞0時(shí)，做出函數(shù)f（x）=|x-a²|-a²的圖象，因?yàn)閍²≥0，且該函數(shù)圖象過原點(diǎn)，關(guān)于x=a²對(duì)稱，頂點(diǎn)為（a²，-a²），結(jié)合該函數(shù)還是奇函數(shù)，作出圖象如下：

而函數(shù)y=f（x+a）的圖象是將y=f（x）像左平移|a|個(gè)單位得到的，要使任意的x∈R，恒有f（x+a）≥f（x），只需f（x+a）的圖象恒在f（x）的圖象上方或部分重合，
所以只需y=f（x+a）與x軸最右邊的交點(diǎn)在A在y=f（x）與x軸最左邊交點(diǎn)B的左邊或重合”
因此應(yīng)該有2a²-a≤-2a²，即4a²-a≤0解得0≤a≤

1

4

．
故答案為0≤a≤

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：這道題是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，因?yàn)閱栴}相對(duì)復(fù)雜，因此借助于數(shù)形結(jié)合，使得問題變得簡(jiǎn)單明了，注意此法適合于選擇、填空題．