【題目】已知橢圓: ()的左焦點為,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設為坐標原點, 為直線上一點,過作的垂線交橢圓于, .當四邊形是平行四邊形時,求四邊形的面積。
【答案】(1) ;(2)
【解析】試題分析:(1)由已知得: , ,所以,再由可得,從而得橢圓的標準方程. )橢圓方程化為.設PQ的方程為,代入橢圓方程得: .面積,而,所以只要求出的值即可得面積.因為四邊形OPTQ是平行四邊形,所以,即.
再結合韋達定理即可得的值.
試題解析:(1)由已知得: , ,所以
又由,解得,所以橢圓的標準方程為: .
(2)橢圓方程化為.
設T點的坐標為,則直線TF的斜率.
當時,直線PQ的斜率,直線PQ的方程是
當時,直線PQ的方程是,也符合的形式.
將代入橢圓方程得: .
其判別式.
設,
則.
因為四邊形OPTQ是平行四邊形,所以,即.
所以,解得.
此時四邊形OPTQ的面積
.
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【題目】設函數(shù)(,,,)的圖象在點處的切線的斜率為,且函數(shù)為偶函數(shù).若函數(shù)滿足下列條件:①;②對一切實數(shù),不等式恒成立.
(1)求函數(shù)的表達式;
(2)設函數(shù)()的兩個極值點,()恰為的零點.當時,求的最小值.
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【題目】已知拋物線的焦點為,為上異于原點的任意一點,過點的直線交于另一點,交軸的正半軸于點,且有.當點的橫坐標為3時,為正三角形.
(1)求的方程;
(2)延長交拋物線于點,過點作拋物線的切線,求證:.
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【題目】為了完成對某城市的工薪階層是否贊成調整個人所得稅稅率的調查,隨機抽取了60人,作出了他們的月收入頻率分布直方圖(如圖),同時得到了他們月收入情況與贊成人數(shù)統(tǒng)計表(如下表):
(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計這60人的平均月收入;
(2)若從月收入(單位:百元)在[65,75)的被調查者中隨機選取2人進行追蹤調查,求2人都不贊成的概率.
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【題目】如圖,在三棱柱中,側面,均為正方形,,點是棱的中點.請建立適當?shù)淖鴺讼,求解下列問題:
(Ⅰ)求證:異面直線與互相垂直;
(Ⅱ)求二面角(鈍角)的余弦值.
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【題目】已知冪函數(shù)為偶函數(shù),且在區(qū)間上是單調遞增函數(shù)。
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)設,若能取遍內的所有實數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】同時拋擲甲、乙兩顆骰子.
(1)求事件A“甲的點數(shù)大于乙的點數(shù)”的概率;
(2)若以拋擲甲、乙兩顆骰子點數(shù)m,n作為點P的坐標(m,n),求事件B“P落在圓內”的概率.
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【題目】在四邊形中,已知,,點在軸上,,且對角線.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)若點是直線上任意一點,過點作點的軌跡的兩切線,為切點,直線是否恒過一定點?若是,請求出這個定點的坐標;若不是,請說明理由.
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