Question

為了提高產(chǎn)品的年產(chǎn)量，某企業(yè)擬在2013年進(jìn)行技術(shù)改革，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量x萬(wàn)件與投入技術(shù)改革費(fèi)用m萬(wàn)元（m≥0）滿足x=3-

k

m+1

（k為常數(shù)）．如果不搞技術(shù)改革，則該產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量只能是1萬(wàn)件．已知2013年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元．由于市場(chǎng)行情較好，廠家生產(chǎn)均能銷售出去，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的1.5倍（生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金）
（1）試確定k的值，并將2013年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為技術(shù)改革費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)（利潤(rùn)=銷售金額-生產(chǎn)成本-技術(shù)改革費(fèi)用）；
（2）該企業(yè)2013年的技術(shù)改革費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意令m=0代入x=3-

k

m+1

求出常量k，這樣就得出了x與m的關(guān)系式，然后根據(jù)2013年固定收入加再投入資金求出總成本為8+16x，再除以2013的件數(shù)就可以得出2013年每件的成本，而每件的銷售價(jià)格是成本的1.5倍，從而得出了每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格，然后用每件的銷售單價(jià)×銷售數(shù)量得到總銷售額．最后利用利潤(rùn)=銷售金額-生產(chǎn)成本-技術(shù)改革費(fèi)用得出利潤(rùn)y的關(guān)系式．
（2）根據(jù)基本不等式，求出y的最大值時(shí)m的取值即可．

解答：解：（1）由題意可知，當(dāng)m=0時(shí)，x=1（萬(wàn)件）∴1=3-k，∴k=2，∴x=3-

2

m+1

∴每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×

8+16x

x

（元），
∴2010年的利潤(rùn)y=x•（1.5×

8+16x

x

）-（8+16x）-m=28-m-

16

m+1

（m≥0）；
（2）∵m≥0，∴y=28-m-28-m-

16

m+1

=29-[（m+1）+

16

m+1

]≤29-2

16

=21
當(dāng)且僅當(dāng)m+1=

16

m+1

，即m=3時(shí)，y_max=21．
∴該企業(yè)2013年的技術(shù)改革費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，最大為21萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出函數(shù)解析式的能力，以及求函數(shù)最值的問(wèn)題，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．