Question

已知p：關于t的不等式

∫

t 0

（2x+1）dx-m＞0對任意t∈[1，2]恒成立；q：f（x）=

x2，x≥0 x-1，x＜0

，不等式f（m²）＞f（m+2）成立，若p∨q為真，p∨q為假，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假,定積分

專題：簡易邏輯

分析：先根據定積分求解方法，函數(shù)f（x）的單調性求出p，q下的m的取值范圍，然后根據p∨q為真，p∧q為假得到p，q一真一假，所以有p真q假，和p假q真兩種情況，求出每種情況的m的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：p：∫0t(2x+1)dx=(x2+x)|0t=t²+t；
∴原不等式變成：t²+t-m＞0；
∴m＜t²+t對任意t∈[1，2]恒成立；
t2+t=(t+

1

2

)2-

1

4

，∴函數(shù)t²+t在[1，2]上單調遞增，∴該函數(shù)的最小值為2；
∴m＜2；
q：由f（x）解析式知函數(shù)x²在[0，+∞）上單調遞增，x-1在（-∞，0）上單調遞增，且x-1＜0，x²≥0；
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
∴由f（m²）＞f（m+2）得m²＞m+2，解得m＜-1，或m＞2；
若p∨q為真，p∧q為假，則p，q一真一假；
∴p真q假時，

m＜2 -1≤m≤2

，∴-1≤m＜2；
p假q真時，

m≥2 m＜-1，或m＞2

，∴m＞2；
∴m的取值范圍為[-1，2）∪（2，+∞）．

點評：考查定積分的計算，根據二次函數(shù)的單調性求二次函數(shù)的最值，分段函數(shù)的單調性，根據單調性解不等式，p∨q，p∧q的真假和p，q真假的關系．