Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過點（

3

，

1

2

）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+t 與圓C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于點A，且l與橢圓E只有一個公共點B．
①求證：k²=

R2-1

4-R2

；
②當R為何值時，丨AB丨取得最大值？并求出最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（I）由橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過點（

3

，

1

2

），建立方程組，求出a，b，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）①由題意可設直線l的方程為y=kx+t，由直線l與圓O相切可得r，t與k的關系式，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，由直線與橢圓C只有一個公共點可得k，t的關系，即可得證；
②結合方程的根與系數(shù)關系及由直角三角形OAB中，|AB|²=|OB|²-|OA|²，利用基本不等式即可求解最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過點（

3

，

1

2

），
∴

a2-b2 a = 3 2 3 a2 + 1 4 b2 =1

，
∴a=2，b=1，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1…（4分）
（Ⅱ） 證明：①由直線l與圓C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A，得R=

|t|

1+k2

，
即 t²=R²（1+k²）…（5分）
又∵l與橢圓E只有一個公共點B，
由

y=kx+t x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
∵直線與橢圓C只有一個公共點
∴△=（8kt）²-4（+4k²）（4t²-4）=0
∴t²=1+4k²②
由①②，得k²=

R2-1

4-R2

…（8分）
②解：設B（x₀，y₀），由k²=

R2-1

4-R2

得t²=

3R2

4-R2

  
由韋達定理，x₀²=

16R2-16

3R2

∵B（x₀，y₀）點在橢圓上，
∴y₀²=1-

1

4

x₀²=

4-R2

3R2

∴|OB|²=x₀²+y₀²=5-

4

R2

，…（10分）
在直角三角形OAB中，|AB|²=|OB|²-|OA|²=5-（

4

R2

+R2），
∵

4

R2

+R2≥4，當且僅當R=

2

∈（1，2）時取等號，
∴|AB|²≤5-4=1，
∴AB的最大值為1．…（12分）

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓方程，直線與橢圓相交關系、相切關系的應用及方程的根與系數(shù)關系的應用，本題具有一定的綜合性．