Question

12．已知S_n是首項為a的等比數(shù)列{a_n}的前n項的和，S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列．
（1）求：a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列；
（2）若T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2，求T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，可得2S₉=S₃+S₆，當(dāng)q=1時不成立，當(dāng)q≠1時，利用等比數(shù)列的前n項和公式化為：2q⁶-q³-1=0，解得q³．只要證明2a₈-（a₂+a₅）=0，即可得出．
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （1）證明：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，
∴2S₉=S₃+S₆，
當(dāng)q=1時不成立，
∴q≠1，$\frac{2a（{q}^{9}-1）}{q-1}$=$\frac{a（{q}^{3}-1）}{q-1}$+$\frac{a（{q}^{6}-1）}{q-1}$，化為：2q⁶-q³-1=0，
解得q³=-$\frac{1}{2}$．
∴2a₈-（a₂+a₅）=${a}_{2}（2{q}^{6}-{q}^{3}-1）$=0，
∴a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．
（2）解：由na_3n-2=na•q^3n-3=na$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2
=a$[1+2×（-\frac{1}{2}）$+3×$（-\frac{1}{2}）^{2}$+…+$n（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$，
∴$-\frac{1}{2}{T}_{n}$=a$[-\frac{1}{2}+2×（-\frac{1}{2}）^{2}$+…+（n-1）$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$+n$（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
∴$\frac{3}{2}{T}_{n}$=$a[1+（-\frac{1}{2}）+（-\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（-\frac{1}{2}）^{n-1}-n（-\frac{1}{2}）^{n}]$=a$[\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}-n（-\frac{1}{2}）^{n}]$=a$[\frac{2}{3}-\frac{2+3n}{3}（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
∴T_n=a$[\frac{4}{9}-\frac{4+6n}{9}（-\frac{1}{2}）^{n}]$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．