Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，點E、G分別是CD、PC的中點，點F在PD上，且PF：FD=2：1．
（Ⅰ）證明：EA⊥PB；
（Ⅱ）證明：BG∥面AFC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用直線與平面的判定定理證明EA⊥面PAB，然后利用直線與平面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論；
（Ⅱ）取PF中點M，連接MG，可證MG∥面AFC，連接BM，BD，設(shè)AC∩BD=O，連接OF，可證BM∥面AFC，根據(jù)面面平行的判定定理可得面BGM∥面AFC，最后根據(jù)面面平行的性質(zhì)可證BG∥面AFC．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）證明：因為面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，所以△ACD為等邊三角形，
又因為E是CD的中點，所以EA⊥AB．…（2分）
又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．  …（3分）
而AB∩PA=A
所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．   …（5分）
（Ⅱ）取PF中點M，所以PM=MF=FD．…（6分）
連接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．…（8分）
連接BM，BD，設(shè)AC∩BD=O，連接OF，
所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．（10分）
而BM∩MG=M
所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．…（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，以及直線與平面平行的判定，同時考查了空間想象能力和論證推理的能力，屬于基礎(chǔ)題．