Question

設(shè)函數(shù)F（x）在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為F₁（x），F(xiàn)₁（x）在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為F₂（x），如果當(dāng)x∈D時，F(xiàn)₂（x）≥0，則稱F（x）在區(qū)間D上是下凸函數(shù)．已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，f（x）=e^x-ax³+3x-6．
（1）若f（x）在[0，+∞）上是下凸函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）設(shè)M（x）=f（x）+f（-x）+12，n是正整數(shù)，求證：M（1）M（2）…M（n）＞

(en+1+2)n

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意得：[f′（x）]′=e^x-6ax在[0，+∞）上是下凸函數(shù)，即y=e^x-6ax≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，綜合可得a的范圍．
（2）由于M（x）=f（x）+f（-x）+12=e^x+e^-x＞0，然后由lnM（x₁）+lnM（x₂）＞ln（ex1+x2+2），
分別得到lnM（1）+lnM（n）＞ln（eⁿ⁺¹+2），lnM（2）+lnM（n-1）＞ln（eⁿ⁺¹+2），…，lnM（n）+lnM（1）＞ln（eⁿ⁺¹+2），累加后即可證得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-ax³+3x-6，∴f′（x）=e^x-3ax²+3，∴[f′（x）]′=e^x-6ax，
由于f（x）在[0，+∞）上是下凸函數(shù)，
則y=e^x-6ax≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，
即a≤

ex

6x

在x∈（0，+∞）上恒成立，故a＜0．
（2）∵M(jìn)（x）=f（x）+f（-x）+12=e^x+e^-x＞0，
∴l(xiāng)nM（x₁）+lnM（x₂）=ln[（ex1+e-x1）（ex2+e-x2）]，
又（ex1+e-x1）（ex2+e-x2）
=ex1+x2+e-(x1+x2)+ex1-x2+e-x1+x2
＞ex1+x2+e-(x1+x2)+2
＞ex1+x2+2，
∴l(xiāng)nM（1）+lnM（n）＞ln（eⁿ⁺¹+2），
lnM（2）+lnM（n-1）＞ln（eⁿ⁺¹+2），
…
lnM（n）+lnM（1）＞ln（eⁿ⁺¹+2）．
由此得：2[M（1）+M（2）+…+M（n）]
=[M（1）+M（n）]+[M（2）+M（n-1）]+…+[M（n）+M（1）]＞nln（eⁿ⁺¹+2），
則lnM（1）+lnM（2）+…+lnM（n）＞

n

2

ln（eⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）成立，
故M（1）M（2）…M（n）＞

(en+1+2)n

．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查了函數(shù)恒成立問題，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了累加法求數(shù)列的和，屬高考試卷中的壓軸題．