Question

從中這個(gè)數(shù)中取（，）個(gè)數(shù)組成遞增等差數(shù)列，所有可能的遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)記為．
（1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出所有可能的遞增等差數(shù)列及的值；
（2）求；
（3）求證：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見(jiàn)解析．

試題分析：（1）符合要求的遞增等差數(shù)列全部列出，即可求出的值；（2）求，即從到個(gè)數(shù)中取個(gè)，組成遞增等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)知，故分別取，討論各種情況下，數(shù)列的個(gè)數(shù)，如時(shí)，分別取，共可得個(gè)符合要求的數(shù)列，以此類推，即可得到其他情況的符合要求的數(shù)列的個(gè)數(shù)，加起來(lái)的和即為符合要求數(shù)列的個(gè)數(shù)，即得的值；（3）求證：，由（2）的求解過(guò)程可知，首先確定的范圍，即，由于只能取正整數(shù)，故取的整數(shù)部分是，即，的可能取值為，計(jì)算出，利用即可證得結(jié)論．
試題解析：（1）符合要求的遞增等差數(shù)列為1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4個(gè).
所以.                                           3分
（2）設(shè)滿足條件的一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，.
，，的可能取值為．
對(duì)于給定的，， 當(dāng)分別取時(shí)，可得遞增等差數(shù)列個(gè)（如：時(shí)，，當(dāng)分別取時(shí)，可得遞增等差數(shù)列91個(gè)：；；；，其它同理）.
所以當(dāng)取時(shí)，可得符合要求的等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為：
．     8分
（3）設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，
，，
記的整數(shù)部分是，則，即．
的可能取值為，
對(duì)于給定的，，當(dāng)分別取時(shí)，可得遞增等差數(shù)列個(gè).
所以當(dāng)取時(shí)，得符合要求的等差數(shù)列的個(gè)數(shù)

易證．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240426037681109.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以．
所以
．
即．            13分