Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用奇函數(shù)定義，在f（-x）=-f（x）中的運(yùn)用特殊值求a，b的值；
（Ⅱ）首先確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識(shí)求出k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，
即

b-1

a+2

=0?b=1∴f(x)=

1-2x

a+2x+1

又由f（1）=-f（-1）知

1-2

a+4

=-

1- 1 2

a+1

?a=2．
所以a=2，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，
易知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
又因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，
所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等價(jià)于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因?yàn)閒（x）為減函數(shù)，由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即對(duì)一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0?k＜-

1

3

．
所以k的取值范圍是k＜-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用；同時(shí)考查一元二次不等式恒成立問題的解決策略．