設F1、F2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
的左、右兩個焦點.
(1)若橢圓C上的點A(1,
3
2
)到F1、F2兩點的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程和焦點坐標.
(2)已知圓心在原點的圓具有性質(zhì):若M、N是圓上關于原點對稱的兩點,點P是圓上的任意一點,當直線PM、PN的斜率都存在,并記作KPM、KPN那么KPMKPN=-1.試對橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
寫出類似的性質(zhì),并加以證明.
分析:(1)由題意知2a=4,把點A(1,
3
2
)代入能推導出橢圓C的方程和焦點坐標.
(2)在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
上取關于原點對稱的兩點M、N,在該曲線上任取不與M、N重合的動點P,直線PM,PN的斜率存在.那么kPMkPN=-
b2
a2

證明:設橢圓方程是
x2
A
+
y2
B
=1(A=a2,B=b2)
,設M(m,n),則N(-m,-n),又設P(x,y),(x≠±m(xù),),那么
m2
A
+
n2
B
=1
x2
A
+
y2
B
=1
,由此能夠推導出kPMkPN=
y2-n2
x2-m2
=-
B
A
=-
b2
a2
解答:解:(1)由題意知,2a=4,∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
b2
=1
,把點A(1,
3
2
)代入,得
1
4
+
9
4
b2
=1
,解得b2=3,c2=1,∴橢圓C的方程是
x2
4
+
y2
3
=1
,焦點坐標是F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)
(2)在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
上取關于原點對稱的兩點M、N,在該曲線上任取不與M、N重合的動點P,直線PM,PN的斜率存在.那么kPMkPN=-
b2
a2

證明:設橢圓方程是
x2
A
+
y2
B
=1(A=a2,B=b2)
,設M(m,n),則N(-m,-n),又設P(x,y),(x≠±m(xù),),那么
m2
A
+
n2
B
=1
①且
x2
A
+
y2
B
=1

因為kPMkPN=(
y-n
x-m
)•(
y+n
x+m
)=
y2-n2
x2-m2
,由①知:n2=B-
B
A
m2
,由②y2=B-
B
A
x2
,所以y2-n2=-
B
A
(x2-m2)
,所以kPMkPN=
y2-n2
x2-m2
=-
B
A
=-
b2
a2
點評:本題考查橢圓的性質(zhì)及其應用,解題時要認真審題,仔細解答,注意公式的正確選用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設F1,F(xiàn)2分別為橢C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右兩個焦點,橢圓C上的點A(1,
3
2
)
到兩點的距離之和等于4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程和焦點坐標;
(Ⅱ)設點P是(Ⅰ)中所得橢圓上的動點Q(0.
1
2
)
求|PQ|的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設F1,F(xiàn)2分別為橢C:數(shù)學公式(a>b>0)的左、右兩個焦點,橢圓C上的點數(shù)學公式到兩點的距離之和等于4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程和焦點坐標;
(Ⅱ)設點P是(Ⅰ)中所得橢圓上的動點數(shù)學公式求|PQ|的最大值.

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